量子计算简介

Bloch球

量子比特的纯态可以用Bloch球表示

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\[ \ket{\psi}=\cos({\theta\over2})\ket{0}+e^{i\phi}\sin({\theta\over2})\ket{1} \] 注意这里的\(\theta\)会和布居数（占据数）联系，\(\phi\)则是相对相位（这很显然）

旋转操作算符

考虑对一个量子态在Bloch球上进行旋转操作，旋转轴为\(\vec{n}\)，旋转角度为\(\alpha\) 记为 \[ \hat{U}=\hat{U}(\vec{n}, \alpha)=e^{-i\alpha{\vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}\over\hbar}} \] 对于Bloch球表示的体系，\(\hat{\vec{S}}={\hbar\over2}\hat{\vec{\sigma}}\) 所以我们可以得到旋转操作算符 \[ \hat{U}(\vec{n}, \alpha)=e^{-i{\alpha\over2}\vec{n}\cdot\hat{\vec{\sigma}}}=\cos({\alpha\over2})-i\vec{n}\cdot\hat{\vec{\sigma}}\sin({\alpha\over2}) \] 这里已经利用了扩展的欧拉公式，其中\((\vec{n}\cdot\hat{\vec{\sigma}})^2=\hat{I}\) 证明如下 \[ \hat{q}^2=\hat{I} \]

\[ e^{i\theta\hat{q}}=\sum_{k=0}^\infty[{(-1)^k\theta^{2k}\over(2k)!}+i\hat{q}{(-1)^k\theta^{2k+1}\over(2k+1)!}] =\cos\theta+i\hat{q}\sin\theta \]

LC振荡电路及其量子化

lc

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系统的哈密顿量为 \[ H = {Q^2\over2C}+{\Phi^2\over2L} \] 其中\(Q\)是电容的电荷量，\(\Phi\)是电感的磁通量 使用基本电荷\(e\)和磁通量子\(\Phi_0={h\over2e}\)改写，\(n={Q\over2e}, ~\phi={2\pi\Phi\over\Phi_0}={4\pi e\Phi\over h}\)可以有 \[ H = 4{e^2\over2C}n^2+{(\Phi_0/2\pi)^2\over2L}\phi^2 \] 可以进一步得到 \[ E_C = {e^2\over2C}~~~~E_L={(\Phi_0/2\pi)^2\over2L} \] 分别代表一个电荷所带来的电容器上的能量，以及一个磁通量子所带来的电感上的能量 量子化后有 \[ H=4E_C\hat{n}^2+E_L\hat{\phi}^2 \]

\[ [\hat \phi, \hat n]=i \]

约瑟夫森结

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约瑟夫森结由两层超导体夹着一层绝缘体组成，其行为由约瑟夫森方程决定： \[ V(t)={\mathrm{d}\Phi(t)\over\mathrm{d}t} \]

\[ I(t)=I_s\sin(2\pi{\Phi(t)\over\Phi_0}) \]

其中，\(\Phi\)是以磁通量子为单位来描述的两超导体之间的序参量位相差

直流伏安特性

当偏置电流从0开始增大，结两端的电压一直为0，直到电流大于临界电流\(I_s\)，此时结两端突然出现电压\(V=2\Delta/e\)，其中\(\Delta\)是材料的超导能隙；继续增大电流，系统表现出正常电阻状态；减小偏置电压至\(2\Delta/e\)，结两端电流减小至\(I_s\)；电压继续减小，电流一直保持在\(I_s\)，直到电压减小为0。

等效电感

\[ L = {V\over\dot I}={\Phi_0\over2\pi I_s\cos(2\pi{\Phi(t)\over\Phi_0})} \]

可以看到，对于一个约瑟夫森结，可以等效的看作有一个非线性的电感存在。 其包含的能量可以计算为 \[ E = \int IV\mathrm dt = {I_s\Phi_0\over2\pi}\int\sin(2\pi{\Phi(t)\over\Phi_0}){\mathrm{d}\Phi(t)\over\mathrm{d}t}\mathrm dt=-{I_s\Phi_0\over2\pi}\cos(2\pi{\Phi(t)\over\Phi_0}) \] 有 \[ E_J = {I_s\Phi_0\over2\pi} \] 表示一个磁通量子在约瑟夫森结中所带来的能量，考虑到和电荷能的对偶关系，可以认为是一对电子（一个库伯对）穿越约瑟夫森结时所需的能量 考虑仅含一个约瑟夫森结的闭合回路，由于结自身所带的电容\(C\)，这构成了一个LC振荡电路，我们依据之前的关系，可以得到 \[ H = 4E_C\hat{n}^2-E_J\cos(2\pi{\hat\Phi(t)\over\Phi_0})=4E_C\hat{n}^2-E_J\cos\hat\phi \]

DC-SQUID

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依照约瑟夫森结方程 \[ I=I_a\sin\phi_a+I_b\sin\phi_b \] 考虑a结和b结相同，则有 \[ \begin{align*} I &= I_a(\sin\phi_a+\sin\phi_b)\\ &= 2I_a\cos({\phi_a-\phi_b\over2})\sin({\phi_a+\phi_b\over2})\\ &= I_c\sin(\phi) \end{align*}\\ \] 考虑环形回路中有偏置磁通量\(\Phi_c\) 由\(\hbar\nabla\psi=2e\vec{A}\)有： \[ \begin{align*} \int_{SQUID}\hbar\nabla\phi\cdot\mathrm d\vec l = \int_{SQUID}2e\vec A\cdot\mathrm d\vec l\\ \Longrightarrow\hbar(\phi_a-\phi_b)=2e\cdot\Phi_c \end{align*} \] 由此我们得到： \[ I_c=2I_a\cos({2e\cdot\Phi_c\over2\hbar})=2I_a\cos(\pi\cdot{2e\over h}\cdot\Phi_c)=2I_a\cos(\pi{\Phi_c\over\Phi_0}) \] 最终，DC-SQUID和一个电容形成的超导回路，满足 \[ \begin{align*} H=4E_c\hat n^2-2E_{J, c}\cos\hat \phi\\ E_{J, c}=E_J\cos(\pi\cdot{\Phi_c\over\Phi_0}) \end{align*} \] 所以，如果我们调控偏置磁通量\(\Phi_c\)，就能够人为的调控等效约瑟夫森结的电流\(I_c\)，也就能调控\(E_{J, c}\)，进而可以调控比特频率

Qubit Architecture

CPB(Cooper Pair Box)

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系统的广义动能项为 \[ T={C_g\over2}\dot\phi_J^2+{C_J\over2}\dot\phi_J^2={C_\Sigma\over2}\dot\phi_J^2 \] 其中\(C_\Sigma=C_g+C_J\)表征系统的总体电容值，代表了CPB的电荷储能能力以及系统量子态对电荷的敏感程度 CPB的广义势能项包括两个部分，约瑟夫森结的等效电感储能以及外部给予的电势能 \[ U = -E_J\cos({2\pi\over\Phi_0}\phi_J)-V_gC_g\dot\phi_J \] 可以得到CPB的哈密顿量为 \[ H = {(Q_J-C_gV_g)^2\over2C_\Sigma}-E_J\cos({2\pi\over\Phi_0}\phi_J) \]

Capacitive-shunted CPB

出于压制电荷噪声的考虑，可以提高CPB中的\(C_\Sigma\)，因此加上一个旁接在结上的大电容\(C_{sh}\)。

满足条件\(C_{sh}\gg C_J\)

Cavity QED

重要的数学前提

\[ [a^\dagger, a]=-1 \]

\[ \sigma_z=\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{matrix}\right]~~~~ \sigma_x=\left[\begin{matrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{matrix}\right]~~~~ \sigma_y=\left[\begin{matrix}0 & - i\\ i & 0\end{matrix}\right] \]

\[ \sigma^+=\left[\begin{matrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{matrix}\right]~~~~ \sigma^-=\left[\begin{matrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{matrix}\right]~~~~ \] \[ \left[\sigma_i, \sigma_j\right]=2i\sigma_k~~~~\left[\sigma_z, \sigma^\pm\right]=\pm2\sigma^\pm \]

对易子运算关系 \[ [\hat A, \hat B] = -[\hat B, \hat A] \] \[ [\hat A, \hat B\hat C] = \hat B[\hat A, \hat C]+[\hat A, \hat B]\hat C~~~~~~~~ [\hat A\hat B, \hat C] = \hat A[\hat B, \hat C]+[\hat A, \hat C]\hat B \] 对易子是线性的 \[ [\hat A, \lambda\hat B+\hat C] = \lambda[\hat A, \hat B]+[\hat A, \hat C] \]

重要运算公式（ BCS 展开公式） \[ e^{xA}Be^{-xA}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^nC_n \] 其中 \[ C_0=B~~~~C_n=[A, C_{n-1}] \]

表象变换

Picture 1 \[ i\hbar\dot{\ket{\psi}}=H\ket{\psi} \] Picture 2 \[ i\hbar\dot{\ket{\psi'}}=H'\ket{\psi'} \] P1 to P2 : \(\ket{\psi'}=U^\dagger\ket\psi\) \[ i\hbar\dot{\ket{\psi'}}=i\hbar\dot{U^\dagger}(U\ket{\psi'})+ U^\dagger[H(U\ket\psi')]=(i\hbar\dot{U^\dagger}U+U^\dagger HU)\ket{\psi'}\\ H'=U^\dagger HU+i\hbar\dot{U^\dagger}U \]

SW 变换

对于一阶非简并微扰系统 \[ H = H_0 + \lambda H_I\\ H\phi=E\phi \] 选取表象变换 \[ \psi=e^{\lambda S}\phi \] 可以得到 \[ \begin{align*} H_S &= e^{\lambda S}He^{-\lambda S}\\ &=H+[\lambda S, H]+\frac1{2!}[\lambda S, [\lambda S, H]]+\frac1{3!}[\lambda S, [\lambda S, [\lambda S, H]]]+\cdots\\ &=H_0+\lambda(H_I+[S, H_0])+\frac12\lambda^2(2[S, H_I]+[S, [S, H_0]])+O(\lambda^3) \end{align*} \] 选取 \[ H_I+[S, H_0]=0 \] 保留到二阶，有 \[ H_S=H_0+\frac12\lambda^2[S, H_I] \] 对于 \(H_0\) 的本征态 \(\ket m, \ket n\) \[ \begin{align*} &\bra m H_I\ket n + \bra m [S, H_0]\ket n =0\\ &\bra m H_I\ket n + \bra m SH_0-H_0S\ket n =0\\ &\bra m H_I\ket n + E_n\bra m S\ket n-E_m\bra mS\ket n =0\\ &\bra mS\ket n = \frac{\bra m H_I\ket n}{E_m-E_n} \end{align*} \] 由此，SW 酉变换的生成元算符 S 为 \[ S = \sum_{m, n}\frac{\bra m H_I\ket n}{E_m-E_n}\ket m\bra n \]

JC Model

\[ H=\hbar\omega_r(a^\dagger a+{1\over2})+{\hbar\Omega\over2}\sigma_Z+\hbar g(a\sigma^\dagger+a^\dagger\sigma^-)+H_\kappa+H_\gamma \]

其中，\(H_\kappa\)是腔的弛豫，\(H_\gamma\)是比特的弛豫

我们考虑旋转表象，对应的变换矩阵满足： \[ \ket{\psi_{rot}}=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}\ket{\psi_{Lab}}\\ U^\dagger=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}=e^{iH_0t/\hbar} \] 变换之后的哈密顿量为 \[ \begin{align*} H_{rot}&=U^\dagger HU+i\hbar\dot{U^\dagger}U\\ &=U^\dagger(H_0+V)U-H_0\\ &=U^\dagger VU\\ &=\hbar gU^\dagger(a^\dagger\sigma^-+a\sigma^++a^\dagger\sigma^++a\sigma^-)U \end{align*} \] 单独计算四项相互作用项有 \[ \begin{align*} &U^\dagger a^\dagger\sigma^-U=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}a^\dagger\sigma^-e^{-ia^\dagger a\omega_rt-i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}=a^\dagger\sigma^-e^{i(\omega_r-w_q)t}\\ &U^\dagger a\sigma^+U=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}a\sigma^+e^{-ia^\dagger a\omega_rt-i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}=a\sigma^+e^{-i(\omega_r-w_q)t}\\ &U^\dagger a^\dagger\sigma^+U=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}a^\dagger\sigma^+e^{-ia^\dagger a\omega_rt-i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}=a^\dagger\sigma^+e^{i(\omega_r+w_q)t}\\ &U^\dagger a\sigma^-U=e^{ia^\dagger a\omega_rt+i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}a\sigma^-e^{-ia^\dagger a\omega_rt-i\frac{\sigma_z}{2}\omega_qt}=a\sigma^-e^{i(\omega_r+w_q)t} \end{align*} \] 故此，哈密顿量可以分成两部分，高频部分和低频部分 \[ H_{rot} = \hbar g[(a^\dagger\sigma^-e^{i(\omega_r-w_q)t}+a\sigma^+e^{-i(\omega_r-w_q)t})+(a^\dagger\sigma^+e^{i(\omega_r+w_q)t}+a\sigma^-e^{i(\omega_r+w_q)t})] \] 一般来说 \(\omega_r\sim\omega_q\)，对比前一项的低频项来说，后面的高频可以直接忽略掉吗，这称之为RWA（旋波近似）。

回到原来表象下的哈密顿量，可以简化为 \[ H = \hbar\omega_r(a^\dagger a+\frac12)+\frac12\hbar\omega_q\sigma_z+\hbar g(a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+) \] 考虑到耦合项的形式，只有 \(\ket{n, g}\) 和 \(\ket{n-1, e}\) 耦合在一起，计算哈密顿量作用在非耦合态上的情况有 \[ \begin{align*} H\ket{0, g}&=-\frac12\hbar\Delta\ket{0, g}\\ H\ket{0, e}&=(\hbar\omega_r+\frac12\hbar\Delta)\ket{0, e}+\hbar g\ket{1, g}\\ H\ket{1, g}&=(\hbar\omega_r-\frac12\hbar\Delta)\ket{1, g}+\hbar g\ket{0, e}\\ H\ket{n-1, e}&=(n\hbar\omega_r+\frac12\hbar\Delta)\ket{n-1, e}+\hbar\sqrt{n}g\ket{n, g}\\ H\ket{n, g}&=(n\hbar\omega_r-\frac12\hbar\Delta)\ket{n, g}+\hbar \sqrt{n}g\ket{n-1, e} \end{align*} \] 其中，\(\Delta=\omega_q-\omega_r\) 表示人工原子和腔之间的失谐，可以发现，除了基态外，其余各态都出现了临近态耦合的情况，也即哈密顿量分块对角。 \[ H_n=\left[\begin{matrix}n\hbar\omega_r+\frac12\hbar\Delta & \sqrt{n}\hbar g\\\sqrt{n}\hbar g & n\hbar\omega_r-\frac12\hbar\Delta\end{matrix}\right] \]

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可以求解出系统的能级和本征态（在这个系统中这里又可以称为缀饰态） \[ E_0=-\frac12\hbar\Delta\\ E_{n, \pm}=n\hbar\omega_r\pm\frac\hbar2\sqrt{4ng^2+\Delta^2} \]

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\[ \begin{align*} \ket{0}&=\ket{0, g}\\ \ket{n, +}&=\cos\theta_n\ket{n, g}+\sin\theta_n\ket{n-1, e}\\ \ket{n, -}&=-\sin\theta_n\ket{n, g}+\cos\theta_n\ket{n-1, e}\\ \theta_n&=\frac12\arctan{\frac{2\sqrt{n}g}{|{\Delta}|}} \end{align*} \]

注意，这里考虑的是 \(\Delta<0\) ，另一边的情况下，形式有所不同，但最终的结果是自洽的，也因此后续采用SW变换来得到最终结果，更为直接简洁。

考虑色散区（大失谐条件 \(g\ll|\Delta|\) ） \[ \begin{align*} E_{n, \pm}&=n\hbar\omega_r\pm\frac\hbar2|\Delta|\sqrt{1+4n\frac{g^2}{\Delta^2}}\\ &=n\hbar\omega_r\pm\frac\hbar2|\Delta|(1+2n\frac{g^2}{\Delta^2})\\ &=n\hbar(\omega_r\pm\frac{g^2}{|\Delta|})\mp\frac\hbar2|\Delta|\\ \end{align*} \]

\[ \ket{n, +}\simeq\ket{n, g}+\sqrt{n}\frac{g}{|\Delta|}\ket{n-1, e}\\ \ket{n, -}\simeq-\sqrt{n}\frac{g}{|\Delta|}\ket{n, g}+\ket{n-1, e} \]

在低能级的情况下，\(\frac{g}{|\Delta|}\ll1\) 的近似条件是合理的，但是在 n 比较大的情况下，小量近似将不再成立，更强的近似条件其实是 \(\frac{2\sqrt{n}g}{|\Delta|}\ll1\)

如果我们考虑 \[ \ket{n, +}\simeq\ket{n, g}\\ \ket{n, -}\simeq\ket{n-1, e} \] 那么哈密顿量可以近似写为 \[ \begin{align*} H &= E_0\ket{0, g}\bra{0, g}+\sum_{n=1}^{\infty}(E_{n, +}\ket{n, +}\bra{n, +}+E_{n, -}\ket{n, -}\bra{n, -})\\ &=-\frac12\hbar\Delta\ket{0, g}\bra{0, g}+\sum_{n=0}^{\infty}n\hbar\omega_r\ket n\bra nI_q+\sum_{n=0}^{\infty}n\hbar\frac{g^2}{\Delta}\ket n\bra n\sigma_z\\ &~~~~~+\frac12\hbar\Delta\ket{0, g}\bra{0, g}+\sum_{n=0}^{\infty}\hbar(\omega_r+\frac{g^2}{\Delta})\ket n\bra n~\ket e\bra e+\frac12\hbar\Delta\sum_{n=0}^{\infty}\ket n\bra n\sigma_z\\ &=\hbar\omega_ra^\dagger a+\hbar\frac{g^2}{\Delta}a^\dagger a\sigma_z+\frac12\hbar\Delta\sigma_z+\hbar(\omega_r+\frac{g^2}\Delta)\ket e\bra e \end{align*} \] 考虑到 \[ \hbar(\omega_r+\frac{g^2}\Delta)\ket e\bra e=\frac\hbar2(\omega_r+\frac{g^2}\Delta)\sigma_z+\frac\hbar2(\omega_r+\frac{g^2}\Delta)I_q \] 由此哈密顿量可以简化为 \[ \begin{align*} H &=\hbar\omega_ra^\dagger a+\hbar\frac{g^2}{\Delta}a^\dagger a\sigma_z+\frac\hbar2(\Delta+\omega_r+\frac{g^2}\Delta)\sigma_z\\ &=\hbar(\omega_r+\frac{g^2}{\Delta}\sigma_z)a^\dagger a+\frac\hbar2(\omega_q+\frac{g^2}\Delta)\sigma_z \end{align*} \]

JC Model 的 SW 变换

\[ H = \hbar\omega_r(a^\dagger a+\frac12)+\frac12\hbar\omega_q\sigma_z+\hbar g(a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+) \]

先考虑相互作用绘景的表象变换 \[ U^\dagger=e^{i\omega_ra^\dagger at+i\omega_r\sigma_zt} \] 将 JC 哈密顿量分解为两部分 \[ H_0 = \hbar\omega_r(a^\dagger a+\frac12)+\frac12\hbar\omega_r\sigma_z\\ H'=\frac12\hbar\Delta\sigma_z+\hbar g(a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+) \] 变换得到 \[ U^\dagger HU=H' \] 选取生成元算符 S \[ S = \sum_{m, n}\frac{\bra m H_I\ket n}{E_m-E_n}\ket m\bra n\\ 其中~m=e, g; n=e, g\\ H_I=\hbar g(a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+)\\ H'=H_0'+H_I \] 可以得到 \[ \begin{align*} S &= g\frac{\bra e a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+\ket g}{\Delta}\ket e\bra g+g\frac{\bra g a^\dagger\sigma^-+a\sigma^+\ket e}{-\Delta}\ket g\bra e\\ &=\frac{g}{\Delta}(a\ket e\bra g-a^\dagger\ket g\bra e)\\ &=\frac{g}{\Delta}(a\sigma^+-a^\dagger\sigma^-) \end{align*} \] 根据 SW 变换有 \[ H'=\frac12\hbar\Delta\sigma_z+\frac12[S, H_I] \] 其中 \[ \begin{align*} [S, H_I]&=[\frac g\Delta(a\sigma^+-a^\dagger\sigma^-), \hbar g(a\sigma^++a^\dagger\sigma^-)]\\ &=2\hbar\frac{g^2}{\Delta}[a\sigma^+, a^\dagger\sigma^-]\\ &=2\hbar\frac{g^2}{\Delta}(a^\dagger a\sigma_z+\frac12+\frac12\sigma_z) \end{align*} \] 最终有 \[ H' = \frac12\hbar(\Delta+\hbar\frac{g^2}{\Delta})\sigma_z+\hbar\frac{g^2}{\Delta}a^\dagger a\sigma_z+\hbar\frac{g^2}{\Delta} \] 回到原表象可以得到 \[ H = \hbar(\omega_r+\frac{g^2}{\Delta}\sigma_z)(a^\dagger a+\frac12)+\frac\hbar2(\omega_q+\frac{g^2}{\Delta})\sigma_z \]